Geschwindigkeit als Änderungsrate

Wirf einen Ball senkrecht nach oben. Seine Höhe in Metern nach t Sekunden ist h(t) = 30t - 5t^2. Nach 1 Sekunde ist er 25 Meter hoch und nach 2 Sekunden 40 Meter. In dieser Sekunde nahm seine Höhe um 15 Meter zu, seine durchschnittliche Geschwindigkeit betrug also 15 Meter pro Sekunde.

Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist die durchschnittliche Änderungsrate der Höhe: die Höhenänderung geteilt durch die Zeitänderung, (h(2) - h(1))/(2 - 1). Meter im Zähler und Sekunden im Nenner ergeben Meter pro Sekunde. Das Vorzeichen gibt die Richtung an. Von t = 4 bis t = 5 sinkt die Höhe von 40 auf 25, daher beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit -15 Meter pro Sekunde: Das Minuszeichen bedeutet, dass der Ball tiefer endete.

Geschwindigkeit ist nicht dasselbe wie Tempo. Von t = 2 bis t = 4 steigt die Höhe von 40 auf 40, die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt also 0, aber der Ball ist nicht an Ort und Stelle geblieben: Bei t = 3 stieg er auf 45 Meter und fiel wieder zurück. Er legte in 2 Sekunden 10 Meter zurück, also betrug sein durchschnittliches Tempo 5 Meter pro Sekunde. Die Geschwindigkeit berücksichtigt nur, wo der Ball startet und endet; das Tempo zählt jeden zurückgelegten Meter und ist niemals negativ.