Eine Umkehrfunktion überprüfen

Teil des Abschnitts Funktionen und Transformationen der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 30 von 58.

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben sich gegenseitig auf, sodass ihre Verkettung die Eingabe zurückgibt: f(f^-1(x)) = x. Das ist ein Test für jede behauptete Umkehrfunktion: Verkette die beiden und prüfe, ob x zurückkommt.

Nimm p(x) = 4x - 3 und die Behauptung q(x) = (x + 3)/4. Dann gilt p(q(x)) = 4 × (x + 3)/4 - 3. Die 4er kürzen sich heraus, sodass x + 3 - 3 übrig bleibt, was x ergibt. Die Behauptung besteht den Test.

Eine falsche Vermutung scheitert ganz offensichtlich. Probiere r(x) = x/4 + 3 aus: p(r(x)) = x + 12 - 3, also x + 9, nicht x. Die Vermutung machte die Schritte in der falschen Reihenfolge rückgängig: Um die Multiplikation mit 4 und dann die Subtraktion von 3 rückgängig zu machen, musst du zuerst 3 addieren und zuletzt durch 4 teilen.

Aufgabe

Ist g die Umkehrfunktion von f? Für f(x) = (x - 1)/2 und g(x) = 2x + 1, berechne f(g(x)): Wende zuerst die innere Regel an, dann die äußere und gib anschließend jede einfachere Zeile ein. Wenn x wieder herauskommt, macht g die Anwendung von f rückgängig.

Probier es selbst

f(g(x))

Vereinfache den Ausdruck