Eine Umkehrfunktion überprüfen

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben sich gegenseitig auf, sodass ihre Verkettung die Eingabe zurückgibt: $f\left({f}^{-1}\left(x\right)\right) = x$. Das ist ein Test für jede behauptete Umkehrfunktion: Verkette die beiden und prüfe, ob x zurückkommt.

Nimm $p\left(x\right) = 4x-3$ und die Behauptung $q\left(x\right) = \frac{x+3}{4}$. Dann gilt $p\left(q\left(x\right)\right) = \frac{4\cdot \left(x+3\right)}{4}-3$. Die 4er kürzen sich heraus, sodass $x+3-3$ übrig bleibt, was x ergibt. Die Behauptung besteht den Test.

Eine falsche Vermutung scheitert ganz offensichtlich. Probiere $r\left(x\right) = \frac{x}{4}+3$ aus: $p\left(r\left(x\right)\right) = x+12-3$, also $x+9$, nicht x. Die Vermutung machte die Schritte in der falschen Reihenfolge rückgängig: Um die Multiplikation mit 4 und dann die Subtraktion von 3 rückgängig zu machen, musst du zuerst 3 addieren und zuletzt durch 4 teilen.