Simplificar con cuidado

En $\frac{4x^{2}+2x}{2x}$, no puedes tachar el $2x$ de arriba contra el $2x$ de abajo y dejar el resto igual. El denominador divide toda la suma, no uno de sus términos.

Divide cada término entre $2x$: $\frac{4x^{2}}{2x} = 2x$ y $\frac{2x}{2x} = 1$, para $x$ distinto de cero. El cociente es $2x+1$. Una expresión distinta de cero dividida entre sí misma es 1, por lo que el segundo término se convierte en 1. No desaparece.

Puedes cancelar un factor que se comparte entre todo el numerador y todo el denominador. No puedes cancelar un término dentro de una suma. Si factorizas el numerador como $2x\left(2x+1\right)$, entonces $2x$ es un factor de todo el numerador, y puedes cancelarlo. Al cancelarlo queda $2x+1$, para $x$ distinto de cero.