Isolieren, dann aufteilen

Wie bei Gleichungen muss der Betrag allein stehen, bevor du die Fallunterscheidung vornimmst. Bei $2\left|x\right|+1 > 7$ subtrahierst du auf beiden Seiten 1, dividierst beide Seiten durch 2 und führst erst dann die Fallunterscheidung durch.

$$2\left|x\right| > 6$$

$$\left|x\right| > 3$$

Teile nun in zwei Fälle auf: $x > 3$ oder $x < -3$.

Dasselbe gilt für „kleiner als“. Bei $\left|x-3\right|-1 \le 1$ addiere zuerst 1 auf beiden Seiten, um $\left|x-3\right| \le 2$ zu erhalten. Schreibe dann die Kette $-2 \le x-3 \le 2$ und addiere 3 zu allen drei Teilen, sodass $1 \le x \le 5$ gilt. Die Reihenfolge ist: den Absolutwert isolieren, entscheiden, ob es sich um ein „kleiner als“ (eine Kette) oder ein „größer als“ (ein „oder“) handelt, aufteilen und dann lösen.